INTEGRACION POR PARTES

                     Tecnica de integracion

  3ºParcial Diario #1                                                          Sábado 8 Julio 2023

Método de Integración por Partes

El método de integración por partes consiste en descomponer la integral en producto de dos términos a los que llamaremos "u" y "dv" y aplicar la fórmula:

                                            

Hemos calculado anteriormente la integral de la función  usando el método de sustitución de variable, pero si consideramos una función levemente distinta ¿podemos usar usar nuevamente el método de sustitución de variable?

Supongamos que queremos calcular la integral de la función . Por más que pensemos en una variable auxiliar que nos pueda ayudar a calcular esta integral, no la encontraremos. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si  y  son dos funciones, entonces a partir de la Regla del Producto para la derivada de funciones, podemos concluir lo siguiente

A esta igualdad la llamaremos El Método de Integración por Partes y aunque pareciera un poco intrincada, existe una regla mnemotécnica, es decir, un juego de palabras muy divertido para aprendérsela de memoria con facilidad recurriendo a dos variables auxiliares  y  planteando lo siguiente

Una vez identificados los factores  y  que están involucrados en la integral notamos que además de estas dos variables debemos contar también con  y  para poder aplicar el método de integración por partes. ¿Cómo lo hacemos?

• Calculamos  a partir de  usando las técnicas de derivación que conocemos.
• Calculamos  a partir de  usando las técnicas de integración que conocemos.

Veamos entonces como aplicar este método para calcular la integral de la función , es decir,

Para este caso en particular podemos considerar  y , entonces

Notemos que hemos descartado la constante  al calcular . Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

La idea de este método es obtener del lado derecho de la igualdad una integral más simple de la que estamos calculando originalmente. Veamos en lo siguientes ejemplos las estrategias para proceder usando este método.

Ejemplo:

Calcule la integral de , es decir,

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores  y  es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo:

Encontrar la siguiente integral indefinida:

$$\int �(2�+5{)}^{10}��$$

Solución

• $�=�$
• $��=��$
• $��=\int (2�+5{)}^{10}��$
• $�={\displaystyle \frac{1}{22}}(2�+5{)}^{11}$

Siguiendo la fórmula de la integración por partes $\int ���=��-\int ���$, resulta:

$$\int �(2�+5{)}^{10}��=\frac{�}{22}(2�+5{)}^{11}-\int \frac{1}{22}(2�+5{)}^{11}��$$

La nueva integral se resuelve con un cambio simple de variable, al hacer:

• $�=2�+5$
• $��=2��$

Entonces:

$$\int \frac{1}{22}(2�+5{)}^{11}��=\frac{1}{44}\int {�}^{11}��$$

$$=\frac{{�}^{12}}{528}+�$$

Devolviendo el cambio y sustituyendo el resultado, se obtiene:

$$\int �(2�+5{)}^{10}��=\frac{�}{22}(2�+5{)}^{11}-\frac{(2�+5{)}^{12}}{528}+�$$

El resultado se puede factorizar:

$$\int �(2�+5{)}^{10}��=\frac{�}{22}(2�+5{)}^{11}(1-\frac{2�+5}{24})+�$$

$$\int �(2�+5{)}^{10}��=\frac{�}{528}(2�+5{)}^{11}\left(19-2�\right)+�$$

Ejemplo:

∫x34−x2​dx

Solución

Para resolver esta integral, se aplican dos métodos de integración. En primer lugar, se determina $�$ mediante sustitución, y después se aplica la fórmula de la integración por partes:

• $�={�}^2$
• $��=2���$
• $��=�\sqrt{4-{�}^2}��$
• $�=\int �\sqrt{4-{�}^2}��=\int �(4-{�}^2{)}^{\frac{1}{2}}��$
• $�=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int {�}^{\frac{1}{2}}��=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[{\displaystyle \frac{{�}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}\right]=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}$

Ahora se aplica integración por partes:

$$\int ���=��-\int ���=-\frac{{�}^2}{3}(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}-\int -\frac{2�}{3}(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}��$$

$$=-\frac{{�}^2}{3}(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}\int �(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}��$$

La nueva integral se resuelve por la misma sustitución que se empleó previamente:

$$\int �(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}��=-\frac{1}{2}\int {�}^{\frac{3}{2}}��=-\frac{1}{2}\left[\frac{{�}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]$$

$$=-\frac{1}{5}(4-{�}^2{)}^{\frac{5}{2}}$$

Enseguida se sustituye este resultado:

$$\frac{2}{3}\int �(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}��=\frac{2}{3}\cdot (-\frac{1}{5})(4-{�}^2{)}^{\frac{5}{2}}+�$$

$$=-\frac{2}{15}(4-{�}^2{)}^{\frac{5}{2}}+�$$

Con esto ya se puede armar la integral solicitada:

$$\int {�}^3\sqrt{4-{�}^2}��=-\frac{{�}^2}{3}(4-{�}^2{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{15}(4-{�}^2{)}^{\frac{5}{2}}+�$$

Referencia:

Método de Integración por Partes – totumat

Integración por partes - Ejercicios resueltos - Neurochispas