FRACCIONES PARACIALES

         Fracciones Parciales

  3ºParcial Diario #2                                                          Sábado 15 Julio 2023

Este método permite integrar algunas de las funciones racionales, que difícilmente se pueden resolver mediante otros métodos de integración. La integración por fracciones parciales es un método algebraico que permite descomponer una fracción racional en la suma de varias fracciones

 uso de las fracciones parciales ha permitido solucionar múltiples problemas en el Algebra Superior y de ahí su importancia en aprenderlas. El presente manual tiene como objetivo iniciar su estudio, el cual se logrará en función de los ejercicios resueltos que se propone

1. Cuando el ‘denominador’ de la fracción es de primer grado y no está repetido

 2. Cuando el ‘denominador’ de la fraccion es de primer grado y esta repetido

en donde, A, B, C son el contenido a determinarse

3. Cuando el ‘denominador’ de la fracción es de segundo grado y no está repetido

donde A y B son las constantes a determinarse.

4. Cuando el ‘denominador’ de la fracción es de segundo grado y está repetido 

donde A, B, C, D, E, F son constantes a determinarse.

1. Analizar la Fracción Parcial: Se verifica que el polinomio del numerador sea de menor grado que el denominador. En caso de no serlo se transforma la fracción a una forma mixta, usando el Teorema de la División (Prueba de la división). 

2. Factorar el denominador si no lo está. Siempre es conveniente tener el denominador en su forma factorada.

 

3. Determinar las constantes. Dependiendo del sistema de ecuaciones que se obtenga se procede a resolverlo para determinar el valor de las constantes del sistema. 

4. Reemplazar las constantes. Finalmente se sustituyen los valores de las constantes determinadas para la expresión

Ejercicios

Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposici´on en fracciones parciales

y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador

 2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2) 

evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos 

2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0 

asi 

1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1 

evaluando en x = 2 se obtiene

 4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0

as´ı 

3 = B

y finalmente, evaluando en x = 3 /2 se obtiene

asi

se sigue

Luego 

Referencia:

Integrales por fracciones parciales (1) (utn.ac.cr)

Manual de fracciones parciales.pdf (ups.edu.ec)