INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

Integración por cambio de variable

 2º Parcial Diario #1                                                     Sábado 09 Junio 2023

En tema que miramos el sabado

Suele ser raro que haya una función que podamos integrar directamente, ya que para una función no básica es difícil hacer el cálculo inverso de una derivada en nuestra cabeza. Esto significa que tenemos que utilizar un método de integración: el de la integración por cambio de variable

Pasos para resolver integrales por cambio de variable

El método general para realizar la integración por cambio de variable es el siguiente:

1. Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.

2. Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.

3. Realizar el cambio de variable.

4. Completar la integral.

5. Deshacer el cambio de variable.

Para comprenderlo mejor, veamos este caso:

Ejemplo

Utiliza la integración por cambio de variable para integrar: $\int {\displaystyle \frac{2�+7}{{�}^2+7�+14}}��$.

Solución

Intenta, primero, un cambio de variable de: $�={�}^2+7�+14$.

Si utilizas este cambio de variable, entonces:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=2�+7$$

$$��={\displaystyle \frac{��}{2�+7}}$$

A continuación, sustituye esto en la integral:

$${\displaystyle \frac{2�+7}{{�}^2+7�+14}}��=\int {\displaystyle \frac{2�+7}{�}}=\int {\displaystyle \frac{1}{�}}��$$

Esto es ahora una integral estándar, por lo que podemos integrarla.

Como ya hemos visto, esto se integra a $��|�|$:

$$\int {\displaystyle \frac{1}{�}}=��|�|+�=��|{�}^2+7�+14|+�=��|({�}^2+7�+14)|+�$$

al ser el argumento del logaritmo una función cuadrática, podemos eliminar el valor absoluto, ya que la función dentro del mismo siempre será mayor que 0.

Ejemplo:

Encontrar: $\int {\displaystyle \frac{1}{3�+1}}��$.

Solución

Hagamos el siguiente cambio de variable:

$$�=3�+1$$

$$�={\displaystyle \frac{�-1}{3}}$$

$$��={\displaystyle \frac{��}{3}}$$

Entonces, podemos usar la cambio de variable así:

$$\int {\displaystyle \frac{1}{3�+1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\int {\displaystyle \frac{1}{�}}��={\displaystyle \frac{1}{3}}��|�|+�={\displaystyle \frac{1}{3}}��|3�+1|+\mathrm{<br>}$$

Ejemplo

Hallar: $\int \cos (3�+5)��$

Solución

Sabemos cómo integrar la función coseno de una sola variable, así que vamos a intentar convertir esta expresión a una nueva forma:

$$�=3�+5$$

$$��={\displaystyle \frac{��}{3}}$$

Al sustituir, obtenemos:

$$\int \cos (3�+5)��={\displaystyle \frac{1}{3}}\int \cos (�)��={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin (�)+�={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin (3�+5)+�$$

Referencia:

Integración por cambio de variable: Resumen | StudySmarter