Continuidad de una función

Continuidad de una función

Dario #3 Sabado 4 de Febrero 2023

En la clase de 02/04/2023 entendí visualmente como identificar una función continua y una función descontinua, en cualquier imagen que muestre una gráfica. Ya que visualmente es más rápido de identificar la continuidad. ecuación también existen ecuaciones fáciles, los cuales consisten en sacar el límite real, el límite por la derecha y el límite por la izquierda y si los tres números coinciden eso quiere decir que la función es continua pero si alguno de los tres números es diferente la función será descontinua.

Todo valor de x tiene una imagen, ya entendí como diferencia la imagen y el dominio.

A través de algunos ejemplos nos hemos dado cuenta que un límite existe siempre que la función es continua en un intervalo al cual pertenezca el punto al cual tiende la variable independiente de la función.

Hay algunas condiciones que nos ayudan a calcular límites de una manera sencilla límites y que también nos ayudan a determinar si una función es continua en un punto. Para que una función sea continua se requeiren de las siguientes condiciones.

Una función $y = f(x)$ es continua en $x = a$ , si

i $f(a)$ está definida,
ii $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, y
iii $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)$ .

Cuando decimos que una función es continua en un intervalo $I$ , queremos decir que las condiciones de continuidad se cumplen para cualquier punto de ese intervalo. Recuerda que la segunda condición requiere que los límites laterales:

En los siguientes ejemplos veremos algunos casos de funciones que son continuas y otros de funciones discontinuas.

Ejemplo 1

Verifica si la función:

$\begin{equation*} y = x^2 - 1 \end{equation*}$

es continua en el punto $x = 0$ .

Esta función es polinomial, y por tanto, su dominio es $\mathbb{R}$ . Esto se debe a que siempre podemos multiplicar un número por sí mismo y a ese resultado restarle 1. Cuando $x$ se acerca a cero, obtenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{x^2} = (0)^2 = 0 \end{equation*}$

Además, $f(0) = 0^2 = 0$ , por lo que esta función es continua en $x=0$ .

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Ejemplo 2

Verifica si la función:

$\begin{equation*} y = \frac{\sin x}{x} \end{equation*}$

es continua en $x = 0$ .

Ya calculamos el límite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\displaystyle\frac{\sin x}{x}}$ previamente. Si sustituimos $x=0$ en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que la función no es continua, porque no cumple con la primera condición de coninuidad. La gráfica de la función es la que se muestra enseguida: