Conocimiento previo

Conocimiento previo

Limites por factorización y Racionalización

Ley de Signos

Los signos de matemáticas conocidos como +, -, x y ÷, son símbolos aritméticos para indicar el estado de una operación matemáticas. Este tipo de operaciones son conocidas como la adición, sustracción, multiplicación y división. Asimismo, también pueden englobar a los signos algebraicos en las operaciones.

Ejemplo Multiplicación

(26) x (-13) =338 Recuerda que dos signos diferentes te darán un numero negativo de resultado.

(25) x (25) = 625 Recuerda que dos signos iguales te darán un numero positivo de resultados.

Nota importante: La ley de los signos se aplica de la misma manera en multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo de sumas

14+17=31 Ambos signos son positivos, realizamos una suma como lo hemos hecho siempre.
(-6) +(-2) =-8 Cuando son dos signos negativos se suman y se escribe el mismo signo negativo.
(-7) + 4 = -3 Cuando el primer número sea negativo y el segundo positivo lo resta y escribes el signo negativo

Nota importante:

En suma, de números positivos con números positivos, el resultado es un número positivo.
De ser una suma de un número negativo con otro número negativo, el resultado es negativo.
Si se trata de un número positivo con un número negativo el signo en el resultado es del número entero de mayor valor.

Ejemplo de Restas:

6 – 4 = 2 Ambos signos son positivos y el resultado siempre dará positivo

( -7) – (-4) = - 3 Ambos signos son negativos, se restan y se escribe el mismo signo negativo.

Nota importante:

se debe tomar en cuenta que si un numero no posee un signo evidente este se sobre entiende que es de signo positivo + y no es necesario escribirlo. En el caso de ser un resultado negativo, se necesita escribir el signo negativo.

Formula General

La formula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:

$\begin{equation*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}$

Para resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general, primero debemos identificar los valores de los coeficientes.

Ejemplos:

1 $x^{2}-5x+6=0$

1 identificamos los valores de a, b y c

$a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=6$
2 sustituimos en la fórmula general y resolvemos

$x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(1)(6)}}{(2)(1)}$

$x=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

$x=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{2}$

$x=\cfrac{5\pm 1}{2}$

$\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+1}{2} & & x_{2}=\cfrac{5-1}{2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{6}{2} & & x_{2}=\cfrac{4}{2} \\ & & \\ x_{1}= 3 & & x_{2}=2 \end{matrix}$

3La ecuación tiene dos soluciones reales distintas

$x_{1}= 3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=2$

Factor Nulo

Este tipo de indeterminación se suele
n presentar en cocientes de polinomios; cuando calculamos limites en un punto en el que se nos anula tanto el numerador como el denominador. Para resolver la indeterminación hay que descomponer en factores los polinomios, tanto del Numerados como Denominador (utilizando Ruffini, ecuaciones de segundo grado, productos notables) y se genera el factor nulo en numerador y denominador, que al simplicarlo conduce a la resolución de la indeterminación aparece asociada a raíces, binomios de raíces, se hace necesario multiplicar y dividir por el conjugado del binomio de raíces para que “ asome” el factor nulo.

Multiplicación Algebraica

En esta nuevo sección de operaciones algebraicas, desarrollaremos la multiplicación algebraica donde multiplicaremos factores algebraicos obteniéndose como resultado otra expresión llamado producto.

La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.

Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente serán usadas en esta sección. Estas leyes son la ley de los signos, las leyes de la potenciación de la teoría de exponentes como las leyes distributivas de multiplicación con respecto a la suma y resta.

Leyes de exponentes para la multiplicación

Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente estudiadas. Por tratarse de multiplicación entre polinomios, usaremos las 3 principales leyes de la potenciacion para la multiplicación y son:

Multiplicación de potencias de bases iguales

$�^{�} \cdot �^{�} = �^{� + �}$

Potencia de un producto

$(� �)^{�} = �^{�} \cdot �^{�}$

Potencia de potencia

$(a^{n})^{m} = a^{n m}$

Multiplicación entre monomios

La multiplicación entre monomios es muy sencilla:

Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los exponentes que estudiamos anteriormente.
Aplicamos las ley distributiva
Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los signos.

El siguiente diagrama para $- 5 x^{2} z^{3}$ indica las partes de un monomio.

$Coeficiente Exponentes Signo \to - ↓ 5 {x ↑}^{↓ 2} {z ↑}^{↓ 3} Bases$

Ejemplo

\begin{aligned} (3 x^{2}) (4 x^{4}) & = (3 \cdot 4) (x^{2} \cdot x^{4}) \\ = (12) (x^{2 + 5}) \\ = 12 x^{7} \end{aligned}

Multiplicación de monomio por un polinomio

Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley distributiva, esto es, se multiplica el monomio a cada termino del polinomio, luego, realizar el proceso de multiplicación entre monomios que ya explicamos anteriormente.

Este tipo de multiplicación tiene la siguiente forma $a (b + c) = a b + a c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son monomios., veamos algunos ejemplos aclaratorios.

Ejemplos

Multiplicación entre polinomios

Para saber como resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en cuneta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación.

La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomio es de la forma $(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d$ , esto es, la multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva. Veamos, la propiedad nos dice que $x (y + z) = x y + x z$ , si suponemos que $x = a + b$ , $y = c$ y $z = d$ , remplazando en la propiedad, tenemos:

Por lo general, llamamos multiplicando al factor de la izquierda $a + b$ y multiplicador al factor de la derecha $c + d$ , esto es:

Ejemplos

Factor Comun

Factorizar una expresión o un número significa escribir esa expresión o ese número como una multiplicación de factores. Entonces, factorizar es lo inverso de la multiplicación. Cuando multiplicamos, escribimos:

$5(x+y)=5x+5y$